Физика приготовления хорошей пиццы — часть 2

Продолжение исследования физики приготовления идеальной пиццы. Часть 2 — не для слабонервных. Здесь много формул, но очень занимательные и познавательные подробности.

Авторы исследования Андрей Варламов, Андреас Гратц, Серджио Грассо

Перевод Rosso Forni

При условии, что Δx мала, мы определили величину в скобках как производную от температуры по оси x и приняли во внимание тот факт, что температура понижается в направлении x (рис. 3).

В общем случае, q – это вектор, а производная в уравнении (3) заменяется градиентом ˅̅ (набла)Т, который описывает уровень изменения температуры в пространстве. Коэффициент κ в уравнении (3) – это теплопроводность, которая описывает способность материала передавать тепло при применении температурного градиента ³. (³ Определение теплопроводности κ dTdx в уравнении (3) требует пояснения: в то время как наш упрощенный вывод предполагает геометрическую зависимость, мы подчеркиваем, что в реальности она определяется только микроскопическими свойствами материала. ) Уравнение (3) выражает математически так называемый закон Фурье, который является верн

Далее проанализируем как «температурный фронт» проникает в материал с поверхности при обеспеченном тепловом потоке (см. рис. 3). Предположим, что в течение времени t температура в маленьком цилиндре высотой L(t) и поперечным сечением S изменилась на ΔT (Этот процесс больше не статичный и приток q не постоянный, т.к. тепло будет частично использоваться для подогрева материала цилиндра. Таким образом, в отличие от статичного процесса, уровень изменения температуры dT/dx являемся функцией пространства и времени.). Теперь вернемся к уравнению (3) и перепишем его, заменяя Δx на L(t):

Решим уравнение (4) с учетом длины L(t) и получим:

Таким образом, температурный фронт входит в материал по квадратному корню закона времени. Время, после которого температура на дне L достигнет величины, близкой к температуре взаимодействия, зависит от величин κ, с и ρ. Параметр χ = κ/сρ называется коэффициентом тепловой диффузии или коэффициентом теплопроводности и время нагрева полного объема может быть выражено следующим образом: τ ̴ L²/χ.

Конечно, наше рассмотрение проблемы теплопроницаемости является простым анализом величины L(t). Более точный подход требует решения дифференциальных уравнений. Все же, конечный результат подтверждает наши выводы (5), скорректированные числовым коэффициентом:

Теперь, когда мы знаем, как работает теплопроводность, давайте вернемся к проблеме вычисления температуры зоны взаимодействия между двумя полупространствами: слева с параметрами κ1, с1, ρ1 и температурой Т1 при −∞, а справа с параметрами κ2, с2, ρ2 и температурой T2 при +∞. Давайте обозначим температуру в пограничном слое как T0. Уравнение энергетического баланса, т.е. требования для равенства тепла, исходящего от теплого правого полупространства через зону взаимодействия к холодному левому полупространству, может быть выражено в формуле:

Здесь мы упростили уравнение, предполагая, что все температурные изменения происходят при соответствующей длине, зависимой от температуры (6). Решая данное уравнение с учетом Т0, получаем:

Можно заметить, что время не входит в выражение (8) (т.е. температура зоны взаимодействия остается неизменной в процессе теплообмена, см рис. 1,2,4). При идентичных материалах с различными температурами, можно с легкостью вычислить: T0 = T1+T22. Это является числовым доказательством того интуитивного вывода, который мы сделали в начале статьи для температуры 37°С при взаимодействии руки матери и лба ребенка. Если бы рука матери была сделана из стали, υ21 >> 1, а Т0 ˜ Т2, то ее температура осталась бы почти неизменной после контакта с горячим лбом, что означало бы, что мать не смогла бы заметить жар ребенка.

Итак, теперь мы готовы обсудить преимущества помпейской печи. Давайте начнем с вычисления температуры в зоне взаимодействия пиццы, помещенной в печь, и нагретой поверхности в печи. Все необходимые параметры представлены в таблице ниже:

(5) Для теста, стали и шамотного камня или кирпича, материалом «2» является тесто. Для воды материалом «1» является сталь.

(6) Материальные параметры для теста следует считать приблизительными. Очевидно, что точные числа зависят от типа муки и время поднятия теста 9 в таком случае тесто насыщается газами, что меняет его плотность)

Предположим, что начальная температура теста пиццы Т0 (do)= 20°С, а температура внутри духовки, как сообщил нам пиццайоло, составляет около Т1(wo)=330°С. Таким образом, можно рассчитать температуру пограничного слоя между поверхностью духовки и основанием пиццы:

По словам пиццайоло, пицца при таких условиях идеально пропекается в течение двух минут. Давайте повторим данные вычисления для электрической духовки со стальной поверхностью для выпечки. Для электрической духовки коэффициент будет υ(eo) = 0.1, и если ее разогреть до той же температуры 330°С, то температура у основания пиццы будет равна:

Это слишком много! Пицца просто превратится в уголь! Температура взаимодействия гораздо выше, чем даже в Неаполитанских пиццериях, где часто разогревают печь до 400-450 °С.

Давайте сформулируем задачу иным способом. Предположим, что поколения пиццайоло, использовавших деревянные лопаты для помещения пиццы в печь были правы: температура у основания (Римской) пиццы должна быть около 210 °С. Какой же должна быть температура для электрической духовки со стальной поверхностью? Ответ следует из уравнения (8) с коэффициентом υ(eo) = 0.1 и решается относительно Т1(eo), где температура у основания пиццы такая же, как и в дровяной печи: Т0(eo) = Т0 (wo). Результат показывает, что электрическая духовка должна быть намного холоднее печи Т1(eo) ≈ 230°С.

Создается впечатление, что если бы можно было забыть о запахе горящего дерева, об обжигающем сухом воздухе из дровяной помпейской печи и о других природных свойствах, проблема была бы решена – давайте нагреем электрическую плиту до 230 °С и через пару минут мы сможем получить идеальную пиццу. Но: это и правда так просто?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть второй важный механизм теплообмена: температурное излучение [4]. Его интенсивность, количество энергии излучения, получаемое каждую секунду на 1 см² поверхности печи, определяется законом Стефана-Больцмана:

I = σT4     (10)

где σ = 5.67×10(-8)W(m2K4) — это так называемая константа Стефана-Больцмана.

Типичная помпейская печь имеет двойную камеру, заполненную песком, в которой поддерживается практически постоянная температура. Ее стены и нижняя часть также прогреваются до температуры Т1(wo) = 330°C = 603K, означающее, по весь объем печи «заполнен» инфракрасным излучением. При такой высокой температуре излучение становится значительным: пицца постоянно «облучается» с обеих сторон потоком инфракрасного излучения интенсивностью

I(wo) = σ(T1(wo))4 = 5.67×10(-8)(603)4 = 7.5 kW/m²,

Т.е. каждую секунду на 1 см² пиццы приходится количество энергии, близкое к 0.75Дж (7).

(7) Здесь мы предполагаем, что пицца ведет себя как черное тело. В реальности, она немного отражает энергию, уменьшая количество тепла, которое она поглощает.

Нужно отметить, что в свою очередь, пицца также излучает поток интенсивностью I(пицца) = σ (Т(пицца))4. Так как основная часть времени выпекания уходит на испарение влаги, содержащейся в тесте и начинке, мы можем предположить, что Т(пицца) = Т(b) = 100°C = 373K, что отражается на интенсивности излучения I(пицца) = σ (Т(b)4 = 1.1 kW/m², т.е примерно 15% полученного излучения пицца «возвращает» печи. Для гораздо менее нагретой электрической духовки, соответствующее количество энергии, затраченное на 1 см² поверхности пиццы, будет более чем в два раза меньше:

в то время как «возвращенное» излучение будет таким же: 1.1 kW/m².

Теперь вычислим какое количество тепла получает 1 см² пиццы в секунду через свое основание. Оно определяется тепловым потоком и для получения его числового выражения, оценим температурный градиент на поверхности печи таким же образом, как и в уравнении (7):

где Т(0)1 обозначает температуру печи.

Можно заметить, что в отличии от закона Стефана-Больцмана, удельный тепловой поток, заходящий на пиццу посредством теплопередачи, зависит от времени. Соответственно, количество тепла, переданного на 1 см² пиццы от печи за время τ определяется:

Таким образом, общее количество тепла, переданного на 1 см² пиццы за время τ составляет:

Данная величина используется для нагрева 1 см² пиццы от температуры теста Т(2)(d) = 20°C до температуры кипения воды T(b) = 100°C:

Q(тепло) = с(d)ρ(d)d(T(b)-T(d)(2)).

Но это еще не все. Во время приготовления идеальной пиццы влага испаряется из теста, томатов, сыра и других ингредиентов. Нужно принять во внимание энергию, требуемую и на это. Если предположить, что массовая доля воды α испаряется из теста и всей начинки, то мы получим:

Q(кипение) = αLρ(вода)d.

Здесь d – это толщина пиццы, которую мы принимаем за d = 0.5 см, в то время как L = 2264.76 Дж х g(-1) – это скрытая теплота испарения воды. Совмещая два данных вывода в один, мы получаем:

Приравнивая уравнения (11) и (12) получаем финальное уравнение, определяющее время приготовления пиццы:

Для получения реалистичного ответа для времени приготовления, важно знать количество воды, которая испарится во время приготовления пиццы. Обычный рецепт Маргариты требует 240гр теста и 90гр начинки (состоящей из томатов и моцареллы). Тесто содержит около одной трети воды, а начинка – около 80% (остальное составляет жир от сыра). Вместе с потерей веса в 30 гр, воды теряется примерно 20%, т.е. α=0.2. Используя это вместе с величинами удельной теплоемкости и плотности теста из таблицы выше, получаем Q(общ) = (70 + 226) Дж/см², что определяет время приготовления в помпейской печи τ(wo) ≈ 125c. Для электрической духовки при аналогичном расчете получаем время, большее почти на 50%: τ(eo) ≈ 170c. Очевидно, что нам удалось воспроизвести величину, данную нам нашим пиццайоло: 2 минуты для приготовления в дровяной печи. Результат попытки испечь пиццу в электрической духовке – это упомянутый выше несбалансированный продукт.

Используя уравнение (8), можно с легкостью высчитать, что температура зоны взаимодействия между пиццей и поверхностью печи составляет 240°C, когда температура внутри дровяной печи поднимается до 390 °C. Заменяя соответствующим образом Т0 в уравнении (13), высчитываем, что время приготовления в таких экстремальных условиях составляет приблизительно 82 секунды. Таким образом, продуктивность печи повышается почти на 50%!

Последний «трюк», открытый нам, важен для приготовления пиццы с начинкой, богатой водой (баклажаны, томаты или другие овощи). В таком случае эксперт сначала выпекает пиццу обычным способом, но когда основание пиццы готово, он поднимает ее деревянной/алюминиевой лопатой и держит над горячей поверхностью еще пол минуты или дольше для ровной теплоотдачи. Таким образом, тесто не подгорает и начинка хорошо пропекается. Конечно, мы здесь проанализировали только самую простую модель, чтобы подобраться к самому ядру феномена, как обычно и делается в физике (здесь мы опустили третий механизм теплообмена: конвекцию, которая, по нашему мнению, имеет незначительный эффект. См рис.5).

В заключении мы отмечаем, что классическую дровяную печь для пиццы довольно сложно построить, и многие клиенты не видят разницы между великолепной и неплохой пиццей. Поэтому инженеры внедряют разнообразные инновации: например, керамическое дно из особой керамики в современных электрических духовках для имитации печного дна. Для равномерного приготовления пиццы доступны вращающиеся поверхности, конвекционные духовки имитируют поток газа в печах и др. Однако, сухой жар и аромат дерева в традиционных печах все же остается идеальным

Благодарности: Мы бы хотели выразить благодарность Римским пиццайоло Антонио и Винченсо за раскрытие некоторых секретов искусства приготовления пиццы. Особая благодарность мистеру Ченгу Дзоу, студенту университета в Шанхае, посещавшему лекции авторов и сделавшему несколько ценных комментариев, которые помогли нам исправить окончательный текст статьи.

Список литературы:

[1] Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine, Frank P. Incropera, David P. DeWitt, Introduction to Heat Transfer, 6th Edition, Wiley (June 13, 2011)

[2] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat, The New Millennium Edition, Basic Books (October 4, 2011)

[3] Frederick Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, Waveland Pr Inc (2008)

[4] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Statistical Physics. Vol. 5, 3rd ed., Butterworth-Heinemann (1980).